Normal com variância conhecida

Considere que $X_1,\dots ,X_n$ são observações independentes e tais que $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }_0^2)$, onde ${\sigma }_0^2$ é o desvio padrão conhecido das observações. Gostaríamos de utilizar estas observações para determinar $l_1(X)$ e $l_2(X)$ de tal forma que

$$P(l_1(X)\le \mu \le l_2(X))=1-\alpha$$ Para tal, note que $\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }_0^2}{n})$ e, portanto, decorre da padronização da distribuição normal que $$\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{{\sigma }_0}=\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\sim N(0,1)$$ Como $Z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{{\sigma }_0}$ tem distribuição normal padrão, podemos determinar $c_1$ e $c_2$ de tal forma que $P(Z<c_1)=0.5\alpha$ e $P(Z>c_2)=0.5\alpha$. Neste caso, temos que:

$$P(c_1<\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}<c_2)=1-\alpha$$

No R, o comando qnorm($\alpha$) determina o valor $z$, tal que $P(Z<z)=\alpha$. Assim, as constantes $c_1$ e $c_2$ podem ser obtidas no R por meio do comando qnorm: $$\begin{array}{rl}P(qnorm(0.5\alpha )\le \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{{\sigma }_0}\le qnorm(1-0.5\alpha ))& =1-\alpha \\ P(\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}qnorm(0.5\alpha )\le (\overline{X}-\mu )\le \frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}qnorm(1-0.5\alpha ))& =1-\alpha \\ P(\overline{X}-\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}qnorm(1-0.5\alpha )\le \mu \le \overline{X}-\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}qnorm(0.5\alpha ))& =1-\alpha \end{array}$$ Portanto, se tomarmos $l_1(X)=\overline{X}-\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}qnorm(1-0.5\alpha )$ e $l_2(X)=\overline{X}-\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}qnorm(0.5\alpha )$, então $[l_1(X),l_2(X)]$ é um intervalo de confiança $1-\alpha$ para $\mu$.

 n = 9
 media = 8
 alpha = 0.05
 sigma = 1
 print(qnorm(1-0.5*alpha))

## [1] 1.959964

 l_1 = media - sigma/sqrt(n) * qnorm(1-0.5*alpha)
 l_2 = media - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.5*alpha)
 c(l_1, l_2)

## [1] 7.346679 8.653321

Interpretação

Intervalos de confiança são interpretados incorretamente com frequência. Por exemplo, considere que, antes que a amostra seja observada temos $P(l_1(X)<\mu <l_2(X))=95\mathrm{\%}$, e com base na amostra calculamos $l_1(x)=0.5$ e $l_2(x)=0.7$. Dizemos que $[0.5,0.7]$ tem confiança 95% para $\mu$. Também é comum que se interprete que, com probabilidade 95%, $\mu$ está em $[0.5,0.7]$. Contudo, está interpretação está errada!

Note que a probabilidade de 95% no exemplo é calculada antes de a amostra ter sido coletada. Em outras palavras, podemos interpretar que, se gerarmos vários bancos de dados independentes da mesma população, então $\mu$ pertencerá a cerca de 95% dos intervalos gerados por meio destes bancos de dados. Contudo, após um particular banco de dados ser coletado, ou $\mu$ está dentro do intervalo calculado ou não está. A confiança de um particular intervalo gerado não é a probabilidade de que o parâmetro pertença a ele.

Estudo de simulação

Podemos utilizar um estudo de simulação para afiar nossa intuição sobre esta interpretação. A vantagem de um estudo de simulação é que ele é uma dos raros casos em que sabemos quais são os parâmetros populacionais que geram a amostra. Assim, podemos verificar empiricamente se nossos métodos estão funcionando adequadamente. Neste exemplo, geraremos uma amostra em que $\mu =10$, $\sigma =1$ e fixaremos $\alpha =0.05$.

mu = 10
sigma = 1
n = 36
alpha = 0.05
x = rnorm(n, mu, sigma)

Para gerar um intervalo de confiança, podemos usar o código abaixo:

ic = function(x, alpha)
{
  l = mean(x) - qnorm(1-alpha/2)*sigma/sqrt(n)
  u = mean(x) - qnorm(alpha/2)*sigma/sqrt(n)
  c(l, u)
}

Suscintamente, a função ic nos retorna dois valores: o limite inferior e o limite superior do intervalo de confiança. Usando estes esclarecimentos, a função ic nos retorna exatamente o intervalo de confiança que vimos em aula. Para esta simulação, temos o intervalo:

library(tidyverse)
ic_obs = ic(x, alpha) 
ic_obs %>% round(2)

## [1]  9.92 10.58

Como neste estudo de simulação sabemos que $\mu =10$, podemos verificar empiricamente se, para esta amostra, $\mu$ pertence ao intervalo de confiança. Isto é, se $\mu$ é inferior ao limite superior do intervalo e superior ao limite inferior do intervalo.

(mu <= ic_obs[2]) && (mu >= ic_obs[1])

## [1] TRUE

É por isso que neste curso que dizemos que, após a amostra ser observada, é falso que a probabilidade de o intervalo obtido conter o parâmetro é $1-\alpha$. De fato, após a amostra ser observada, podemos a princípio verificar se $\mu$ está ou não no intervalo, então a probabilidade é $0$ ou $1$. A única dificuldade prática é que, fora de um estudo de simulação, raramente sabemos o valor de $\mu$. Então não é possível realizar diretamente essa verificação.

Então o que significa termos confiança de $1-\alpha$ sobre o intervalo? Como vimos, esta garantia deve ser interpretada realizando um experimento mental em que coletamos os mesmos dados inúmeras vezes e independentemente. Se para conjunto de dados coletado construirmos um intervalo de confiança, $1-\alpha$ destes intervalos vão conter o valor de $\mu$.

Como estamos realizando um estudo de simulação, podemos concretizar este experimento mental:

B = 10^5
sucesso = rep(NA, B)
for(ii in 1:B)
{
  x = rnorm(n, mu, sigma)
  ic_obs = ic(x , alpha)
  sucesso[ii] = (mu <= ic_obs[2]) && (mu >= ic_obs[1])
}
mean(sucesso) %>% round(2)

## [1] 0.95

Neste código, coletamos $100.000$ vezes uma amostra de $36$ observações e, para cada amostra obtida, calculamos o intervalo de confiança. Ao final do código, observamos que aproximadamente $95\mathrm{\%}$ dos intervalos contém o valor de $\mu$. Isto é, a confiança de um IC é um critério de replicabilidade e não uma garantia sobre o intervalo construído para uma particular amostra observada.

Exercícios

1. Defina e interprete intervalo de confiança em suas próprias palavras.

2. Um experimentalista experiente realizou $9$ medições da largura de um objeto usando um paquímetro. A média destas observações foi de $1.2mm$. O desvio padrão do experimentalista com o paquímetro é de $0.2mm$. Usando estas informações, construa intervalo com confiança 90%, 95% e 99% para a largura do objeto.

3. No exemplo da normal com variância conhecida, obtemos que o comprimento do intervalo de confiança é $\frac{2{\sigma }_{0}qnorm(1-0.5\alpha )}{\sqrt{n}}$. Isto ocorre pois $qnorm(0.5\alpha )=1-qnorm(1-0.5\alpha )$. Interprete ${\sigma }_0$, $\alpha$ e $n$ e como estas quantidades inluenciam no tamanho do intervalo de confiança.

4. O caso da normal com variância populacional conhecida é um caso especial do caso da normal com variância populacional desconhecida. Em particular, o intervalo de confiança obtido para a variância populacional desconhecida é válido mesmo quando ela é conhecida. Apesar disso, é indesejável usar este intervalo neste caso. Por quê?

5. Obtenha a linha de raciocínio completa para obter o intervalo de confiança no caso da normal com variância desconhecida.