Probabilidade

Variáveis aleatórias

É comum que desejemos generalizar as conclusões que obtemos de um banco de dados para uma população. Por exemplo, no banco de dados de ações cíveis, casos com o assunto “inclusão indevida em cadastro de inadimplentes” em geral tem valor da causa superior àqueles com o assunto “bancários”. É possível concluir a partir da amostra que este padrão está presente também na população?

Para responder a questões como essa, é preciso desenvolver uma ferramenta que ligue as observações realizadas na amostra a observações futuras. Para realizar esta conexão a Estatística descreve o conhecimento existente antes da coleta do banco de dados. Neste contexto, havia incerteza sobre quais dados seriam observados. Por exemplo, considere que um experimento consiste em medir um objeto 10 vezes com um paquímetro. Devido aos erros de medição diversos valores serão observados. Cada medição tem um resultado incerto, com vários possíveis valores.

Para fazer referência a observações incertas, usamos variáveis aleatórias. Em particular, lembre-se que um banco de dados é uma matriz em que as linhas são unidades amostrais e as colunas são variáveis. Designamos por $X_{i, j}$ o valor observado para a $j$ -ésima variável da $i$ -ésima unidade amostral. Como descrevemos nossa incerteza em um momento anterior à coleta do banco de dados, o valor de $X_{i, j}$ é incerto.

Proposições

Utilizando variáveis aleatórias, é possível definir proposições de interesse. Proposições simples envolvem uma única variável e são, por exemplo, “ $X_{1, 3} = 5.2$ ”, “ $X_{4, 2} \geq 4$ ” ou “ $X_{1, 1} \leq 1$ ”. Também é possível obter proposições complexas unindo proposições simples por meio de conjunções. Por exemplo, “ $X_{1, 1} = 2$ e $X_{2, 1} = 2$ ” e “ $X_{1, 3} = 5$ ou $X_{1, 3} = 4$ ”. A seguir, desenvolvemos uma medida de plausibilidade para proposições.

Probabilidade

A probabilidade de uma proposição é uma medida de quão plausível esta proposição é. Seja $A$ uma proposição, designamos sua probabilidade por $P (A)$ . Por exemplo, seja $X_{1, 1}$ o valor da causa da primeira ação na amostra. $P (X_{1, 1} > 5000)$ designa a probabilidade de o valor da causa desta ação ser maior do que 5000. A probabilidade tem certas propriedades que ela deve satisfazer. Primeiramente, para toda proposição a sua probabilidade deve estar entre 0 e 1. Se $P (A) = 0$ , $A$ é impossível e se $P (A) = 1$ , $A$ é certo. Para todo outro valor de $P (A)$ , $A$ é incerto, sendo que, quanto maior o valor de $P (A)$ , mais plausível é $A$ . Também, dizemos que duas proposições são independentes se aprender uma proposição não traz informação sobre a outra. Por exemplo, considere que $X_{1, 1}$ e $X_{2, 1}$ são os valores da causa em duas ações distintas. Se acreditamos que um não traz informação sobre o outro, podemos afirmar que $X_{1, 1}$ e $X_{2, 1}$ são independentes.

Interpretações da probabilidade.

Simetria

Os conceitos de probabilidade iniciaram seu desenvolvimento com o estudo de jogos de azar. Isto ocorreu provavelmente porque nestes jogos lidamos com incertezas em um ambiente controlado. O funcionamento de um dado é relativamente simples em relação ao objeto de pesquisas científicas modernas.

Por exemplo, os possíveis resultados do lançamento de um dado (1, 2, 3, 4, 5 e 6) são simétricos e, assim, todos são igualmente plausíveis. Neste caso, obtemos que a probabilidade de cada possibilidade é $1$ sobre o número total de possibilidades. Por exemplo, se $X$ é uma variável aleatória que designa o resultado do dado, então $P (X = 1) = \frac{1}{6}$ .

Na maior parte de pesquisas científicas modernas, não é possível usar diretamente o juízo de simetria. Por exemplo, o resultado de uma ação pode ser procedente ou improcedente. Dada a complexidade existente em uma ação judicial, em geral não é possível justificar a existência de uma simetria entre estas ocorrências. Assim, é necessário desenvolver um conceito mais abrangente de probabilidade.

Frequência

Imagine uma sequência de processos independentes de uma certa categoria. Podemos calcular a proporção de ações que foram julgadas procedentes. Quando o número o número de processos analisados é grande, a proporção concentra-se em um valor. Segundo a interpretação baseada em frequências, este valor designa a probabilidade procedência na categoria estudada. Isto é, a probabilidade de um evento é a frequência observada deste evento quando realizamos um número muito grande de observações independentes.

Por exemplo, a figura abaixo apresenta a proporção de vezes que um evento ocorre para vários possíveis números de realizações de experimentos independentes. Qual a probabilidade de ocorrência do evento?

Subjetiva

Existem experimentos tais que não conseguimos imaginar repetições independentes. Por exemplo, imagine a próxima eleição presidencial como experimento. Existirá uma única próxima eleição presidencial e, assim, não conseguimos imaginar uma sequência de repetições independentes deste experimento. Assim, a interpretação frequentista não consegue responder a questões como: “Qual a probabilidade de o candidato $A$ vencer a próxima eleição presidencial?”

A interpretação subjetiva da probabilidade vê ela como o juízo de plausibilidade de um determinado indivíduo para proposições. Neste sentido, a probabilidade não é uma característica do experimento avaliado, mas do indivíduo que está estudando este experimento. Decorre que indivíduos diferentes podem atribuir probabilidades distintas para a mesma proposição.

Para que um indivíduo reflita sobre suas probabilidades, uma abordagem é um experimento mental baseado em apostas. Considere uma aposta em que você ganha R$1 se uma proposição, $A$ , ocorrer e R$0, caso contrário. Note que, caso você pague $p$ para participar desta aposta, então ganhará R$(1-p) caso $A$ ocorra e perderá R$p caso $A$ não ocorra. A probabilidade de $A$ pode ser imaginada como o maior valor que você estaria disposto a pagar para participar desta aposta.

Probabilidade Condicional

Falácia do Promotor

People v. Collins

Gatecrasher Paradox

Exercícios

Descreva em suas próprias palavras o significado de “independentes”. Apresente um exemplo de um par de proposições independentes.
Considere as proposições: A = “Choverá hoje” e B = “Choverá amanhã”. São independentes?
Um dado de 6 faces é arremessado.cQual é a probabilidade de que, $A$ , um número par seja sorteado?cQual é a probabilidade de que, $B$ , o número 3 ou 6 seja sorteado? As duas proposições acima são independentes? Verifique se $P (A e B) = P (A) \cdot P (B)$ .
Dividam-se em grupos e arremessem uma moeda várias vezes. Construam um banco de dados juntando todos os seus lançamentos. Para este banco de dados, esbocem como a proporção de caras varia de acordo com o número de lançamentos.
Uma moeda de duas faces simétricas é arremessada duas vezes. Seja $A$ a proposição de que o resultado do primeiro lançamento foi cara e $B$ a proposição de que em ambos os lançamentos ocorreu o mesmo resultado.

Determine $P (A)$ , $P (B)$ , $P (A ou B)$ e $P (A e B)$ .
$A$ e $B$ são independentes?

Referências

Last updated on Jan 1, 0001