Inferência estatística e parâmetros

A inferência estatística consiste em fazer afirmações sobre características de uma população a partir de amostras desta. Estudaremos diversos métodos de inferência estatística.

Para que seja possível fazer inferência estatística, a probabilidade descreve como a amostra se relaciona com a população. Por exemplo, considere uma população de processos similares em que a frequência de procedência da ação é uma quantidade desconhecida, \(\theta\). Tomando uma amostra de \(10\) processos desta população, as indicadoras de procedência na amostra podem ser denotadas por \(X_1, \ldots, X_{10}\). Dizemos que a distribuição de uma variável com probabilidade \(\theta\) de assumir o valor \(1\) e \(1-\theta\) de assumir o valor \(0\) é uma \(\text{Bernoulli}(\theta)\) e escrevemos \(X_i \sim \text{Bernoulli}(\theta)\). Nesta afirmação, note que \(X_i\) refere-se à amostra e \(\theta\) refere-se à população. Assim, a expressão “\(X_i \sim \text{Bernoulli}(\theta)\)” tece a relação entre a amostra e a população.

Existem duas abordagens distintas para a Inferência Estatística. Elas variam de acordo com a interpretação de probabilidade usada. Segundo a interpretação frequentista, \(\theta\) é uma frequência populacional fixa e desconhecida. Neste sentido, afirmações probabilísticas referem-se somente à amostra. Por outro lado, segundo a interpretação subjetivista, como \(\theta\) é um quantia desconhecida, há incerteza sobre ela. Neste sentido, é possível fazer afirmações probabilísticas relativas à incerteza sobre \(\theta\). Embora ambas as abordagens sejam úteis, este curso focará principalmente na abordagem frequentista.

Intervalos de Confiança

Em algumas situações, desejamos criar um intervalo pequeno tal que seja bastante plausível que o parâmetro esteja dentro dele. Por exemplo, considere que estamos estudando a frequência da procedência da ação em uma população de processos, \(\theta\). A frequência da procedência na amostra é uma estimativa plausível para \(\theta\). Contudo, é implausível que \(\theta\) seja exatamente igual à frequência amostral. Assim, além desta estimativa, podemos considerar uma estimativa “conservadora” e outra “otimista” de \(\theta\). O conjunto de valores entre a estimativa conservadora e a otimista é um intervalo de valores plausíveis para \(\theta\). A seguir, veremos formalmente como operacionalizar esta ideia.

O primeiro passo consiste em observar que um intervalo é constituído por um limite inferior, \(L_1\), e um limite superior \(L_2\). Assim, construir intervalos consiste em escolher \(l_1\) e \(l_2\) baseados na amostra. Para cumprir nossos objetivos, gostaríamos que \(L_2-L_1\), o comprimento do intervalo, fosse pequeno. Também gostaríamos que, antes de a amostra ser observada, a probabilidade de \(\theta\) estar dentro do intervalo fosse grande, \(P(L_1 < \theta < L_2) > 1-\alpha\), para um \(\alpha\) pequeno. Após obtida a amostra, dizemos que o intervalo obtido tem confiança \(1-\alpha\) para \(\theta\).

Atenção: A probabilidade de \(1-\alpha\) refere-se ao método para a obtenção do intervalo, em um momento anterior à coleta da amostra. Em outras palavras, se coletarmos um número muito grande de amostras, em aproximadamente \(1-\alpha\) destas \(\theta\) estará dentro do intervalo de confiança obtido. Por outro lado, uma vez que uma particular amostra é obtida, não é mais verdade que a probabilidade de \(\theta\) estar no intervalo é \(1-\alpha\). Podemos afirmar apenas que, ou \(\theta\) está no intervalo, ou \(\theta\) não está no intervalo (e não sabemos qual das afirmações é verdadeira). Por isso que dizemos que o intervalo obtido tem confiança \(1-\alpha\). A confiança refere-se ao método usado para construir o intervalo e não ao intervalo obtido.

library(tidyverse)
library(readxl)
data = read_xlsx("./dados_civeis.xlsx") %>% 
  select(-processo_por_dependencia)

X = data %>% 
  mutate(assunto_escolhido = assunto_info == "Práticas Abusivas") %>% 
  select(assunto_escolhido) %>% 
  unlist()
n = length(X)
media = mean(X)
margem = qnorm(0.975)/(2*sqrt(n))
intervalo = c(mean(X)-margem, mean(X)+margem)
print("Intervalo de Confiança:")

## [1] "Intervalo de Confiança:"

print(round(intervalo, 3))

## [1] 0.103 0.126

alpha = 0.05
camaras = read_csv('./camaras.csv')
aux = camaras %>% 
  filter(polo_mp == "Passivo") %>% 
  mutate(reforma = decisao %in% c("Provido", "Parcialmente")) %>% 
  group_by(camara) %>% 
  summarise(taxa_reforma = mean(reforma), n_dados = n()) %>% 
  ungroup() %>% 
  filter(n_dados >= 100) %>% 
  mutate(
    se = sqrt(taxa_reforma * (1 - taxa_reforma) / n_dados),
    lower = taxa_reforma - qnorm(1-0.5*alpha) * se,
    upper = taxa_reforma + qnorm(1-0.5*alpha) * se
  ) %>% 
  mutate(camara = gsub("de Direito Criminal", "", camara))

aux %>% 
  ggplot(aes(x = camara, y = taxa_reforma)) +
  geom_point(size = 3, color = "blue") +  # Mean points
  geom_errorbar(aes(ymin = lower, ymax = upper), width = 0.2, color = "red") +
  theme_minimal() + 
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 30, hjust = 1)) +
  ylab("Taxa de Reforma") +
  xlab("Câmara de Direito Penal")

library(readxl)
data_civeis = read_xlsx("./dados_civeis.xlsx") %>% 
  select(-processo_por_dependencia)
assuntos_freq = names(sort(table(data_civeis$assunto_info), decreasing = TRUE)[1:10])
aux = data_civeis %>% 
  filter(valor_numerico < 10^5) %>% 
  mutate(
    assunto_novo = ifelse(assunto_info %in% assuntos_freq,
                          assunto_info,
                          "outros")
  ) %>% 
  group_by(assunto_novo) %>% 
  summarise(
    media_vcausa = mean(valor_numerico),
    var_vcausa = var(valor_numerico),
    n_dados = n()
  ) %>% 
  ungroup() %>% 
  mutate(
    se = sqrt(var_vcausa / n_dados),
    lower = media_vcausa - qnorm(1-0.5*alpha) * se,
    upper = media_vcausa + qnorm(1-0.5*alpha) * se
  )

aux %>% 
  filter(assunto_novo != "outros") %>% 
  ggplot(aes(x = assunto_novo, y = media_vcausa)) +
  geom_point(size = 3, color = "blue") +  # Mean points
  geom_errorbar(aes(ymin = lower, ymax = upper), width = 0.2, color = "red") +
  theme_minimal() + 
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 30, hjust = 1)) +
  ylab("Valor da Causa") +
  xlab("Assunto")

alpha = 0.05
mu = 20000
sigma = 150
n = 100
num_experimentos = 10000
sucessos = 0
for(ii in 1:num_experimentos)
{
  dados = rnorm(n, mu, sigma)
  l1 = mean(dados) - sigma/sqrt(n) * qnorm(1-0.5*alpha)
  l2 = mean(dados) - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.5*alpha)
  sucessos = sucessos + (mu > l1 & mu < l2)
}
sucessos/num_experimentos

## [1] 0.9472

Exercícios

1. Defina e interprete intervalo de confiança em suas próprias palavras.

2. Um experimentalista experiente realizou \(9\) medições da largura de um objeto usando um paquímetro. A média destas observações foi de \(1.2 mm\). O desvio padrão do experimentalista com o paquímetro é de \(0.2 mm\). Usando estas informações, construa intervalo com confiança 90%, 95% e 99% para a largura do objeto.

3. No exemplo da normal com variância conhecida, obtemos que o comprimento do intervalo de confiança é \(\frac{2\sigma_0 qnorm(1-0.5\alpha)}{\sqrt{n}}\). Isto ocorre pois \(qnorm(0.5\alpha)=1-qnorm(1-0.5\alpha)\). Interprete \(\sigma_0\), \(\alpha\) e \(n\) e como estas quantidades inluenciam no tamanho do intervalo de confiança.

4. O caso da normal com variância populacional conhecida é um caso especial do caso da normal com variância populacional desconhecida. Em particular, o intervalo de confiança obtido para a variância populacional desconhecida é válido mesmo quando ela é conhecida. Apesar disso, é indesejável usar este intervalo neste caso. Por quê?

5. Obtenha a linha de raciocínio completa para obter o intervalo de confiança no caso da normal com variância desconhecida.

Referências