Parâmetros e Intervalos de Confiança

Inferência estatística e parâmetros

A inferência estatística consiste em fazer afirmações sobre características de uma população a partir de amostras desta. A partir deste ponto, estudaremos diversos métodos de inferência estatística.

Para que seja possível fazer inferência estatística, a probabilidade descreve como a amostra se relaciona com a população. Por exemplo, podemos considerar $10$ medições de um objeto com $15$ cm de comprimento usando uma régua cujo desvio padrão é $0.5$ cm. Neste caso, podemos denotar as $10$ observações por $X_{1}, \dots, X_{10}$ . Antes de realizá-las, é razoável supor que sejam independentes e tais que $X_{i} \sim N (15, 0.25)$ . A distribuição $N (15, 0.25)$ indica o comportamento de uma hipotética população de infinitas medições do objeto. Quando dizemos que $X_{i} \sim N (15, 0.25)$ , indicamos que a $i$ -ésima observação é um membro desta população.

Contudo, ao contrário do exemplo acima, em geral não sabemos descrever perfeitamente a população que temos interesse. Por exemplo, se estamos medindo um objeto, em geral não sabemos qual é o seu comprimento. Assim, se $X_{i}$ é uma observação do objeto usando uma régua cujo desvio padrão é $0.5$ cm, gostaríamos de dizer que $X_{i}$ segue uma distribuição normal com desvio padrão de $0.5$ cm e média igual ao comprimento do objeto. Contudo, como o comprimento do objeto é desconhecido, não é possível fazer diretamente esta afirmação.

Para solucionar este problema, utilizamos parâmetros. Um parâmetro é uma quantidade desconhecida da população. Por exemplo, no parágrafo anterior, o comprimento do objeto medido seria um parâmetro, que poderíamos denotar por $μ$ . Assim, as $10$ observações usando a régua, $X_{1}, \dots, X_{10}$ seriam tais que $X_{i} \sim N (μ, 0.5)$ .

Intervalos de Confiança

Em algumas situações, desejamos criar um intervalo pequeno tal que seja bastante plausível que o parâmetro esteja dentro dele. A seguir, veremos formalmente como operacionalizar este objetivo. Estaremos interessados em construir um intervalo de confiança para $μ$ .

O primeiro passo consiste em observar que um intervalo é constituído por um limite inferior, $l_{1} (X)$ , e um limite superior $l_{2} (X)$ . Assim, construir o intervalos consiste em escolher $l_{1} (X)$ e $l_{2} (X)$ baseados na amostra. Para cumprir nossos objetivos, gostaríamos que $l 2 (X) - l_{1} (X)$ fosse pequeno, ou seja, o comprimento do intervalo fosse pequeno e, antes de a amostra ser observada, $P (l_{1} (X) < μ < l_{2} (X))$ seja grande. Em particular, fixaremos um $α$ pequeno e construíremos o intervalo de tal forma que $P (l_{1} (X) < μ < l_{2} (X)) = 1 - α$ . Após obtida a amostra, dizemos que $[l_{1} (x), l_{2} (x)]$ é um intervalo de confiança $1 - α$ para $μ$ .

A seguir, veremos alguns exemplos de intervalo de confiança.

Normal com variância conhecida

Considere que $X_{1}, \dots, X_{n}$ são observações independentes e tais que $X_{i} \sim N (μ, σ_{0}^{2})$ , onde $σ_{0}^{2}$ é o desvio padrão conhecido das observações. Gostaríamos de utilizar estas observações para determinar $l_{1} (X)$ e $l_{2} (X)$ de tal forma que

$P (l_{1} (X) \leq μ \leq l_{2} (X)) = 1 - α$ Para tal, note que $\bar{X} \sim N (μ, \frac{σ_{0}^{2}}{n})$ e, portanto, decorre da padronização da distribuição normal que $\frac{\sqrt{n} (\bar{X} - μ)}{σ_{0}} = \frac{\bar{X} - μ}{\sqrt{\frac{σ_{0}^{2}}{n}}} \sim N (0, 1)$ Como $Z = \frac{\sqrt{n} (\bar{X} - μ)}{σ_{0}}$ tem distribuição normal padrão, podemos determinar $c_{1}$ e $c_{2}$ de tal forma que $P (Z < c_{1}) = 0.5 α$ e $P (Z > c_{2}) = 0.5 α$ . No R, o comando qnorm( $α$ ) determina o valor $z$ , tal que $P (Z < z) = α$ . Assim, as constantes $c_{1}$ e $c_{2}$ podem ser obtidas no R por meio dos comandos qnorm( $0.5 α$ ) e qnorm( $1 - 0.5 α$ ). Concluímos que $\begin{aligned} P (q n o r m (0.5 α) \leq \frac{\sqrt{n} (\bar{X} - μ)}{σ_{0}} \leq q n o r m (1 - 0.5 α)) & = 1 - α \\ P (\frac{σ_{0}}{\sqrt{n}} q n o r m (0.5 α) \leq (\bar{X} - μ) \leq \frac{σ_{0}}{\sqrt{n}} q n o r m (1 - 0.5 α)) & = 1 - α \\ P (\bar{X} - \frac{σ_{0}}{\sqrt{n}} q n o r m (1 - 0.5 α) \leq μ \leq \bar{X} - \frac{σ_{0}}{\sqrt{n}} q n o r m (0.5 α)) & = 1 - α \end{aligned}$ Portanto, se tomarmos $l_{1} (X) = \bar{X} - \frac{σ_{0}}{\sqrt{n}} q n o r m (1 - 0.5 α)$ e $l_{2} (X) = \bar{X} - \frac{σ_{0}}{\sqrt{n}} q n o r m (0.5 α)$ , então $[l_{1} (X), l_{2} (X)]$ é um intervalo de confiança $1 - α$ para $μ$ .

Aplicação numérica

Considere que $X_{1}, \dots, X_{9}$ são independentes e $X_{i} \sim N (μ, 1)$ , Considere que observamos que $\bar{X} = 8$ e desejamos construir um intervalo de confiança $95 %$ para $μ$ . Neste caso, temos que $α = 0.05$ , assim podemos obter as quantidades apropriadas da distribuição normal e o intervalo de confiança para $μ$ da seguinte forma.

 n = 9
 media = 8
 alpha = 0.05
 sigma = 1
 print(qnorm(1-0.5*alpha))

## [1] 1.959964

 l_1 = media - sigma/sqrt(n) * qnorm(1-0.5*alpha)
 print(l_1)

## [1] 7.346679

 print(qnorm(0.5*alpha))

## [1] -1.959964

 l_2 = media - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.5*alpha)
 print(l_2)

## [1] 8.653321

Isto é, $[7.34, 8.65]$ é um intervalo de confiança $95 %$ para $μ$ .

Normal com variância desconhecida

Quando $X_{1}, \dots, X_{n}$ são independentes e $X_{i} \sim N (μ, σ^{2})$ , sendo tanto $μ$ quanto $σ$ desconhecidos, não é possível construir o intervalo de confiança da mesma forma que na seção anterior.

Neste caso, usamos o fato de que $\frac{\sqrt{n - 1} (\bar{X} - μ)}{S} \sim T_{n - 1}$ onde $T_{n - 1}$ designa uma distribuição $T_{n - 1}$ de Student com $n - 1$ graus de liberdade. Notando que $P (T_{n - 1} < q t (α, n - 1)) = α$ , podemos obter por raciocínio análogo ao desenvolvido na normal com variância conhecida que $P (\bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n - 1}} q t (1 - 0.5 α, n - 1) \leq μ \leq \bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n - 1}} q t (0.5 α, n - 1)) = 1$ Assim, se $l_{1} (X) = \bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n - 1}} q t (1 - 0.5 α, n - 1)$ e $l_{2} (X) = \bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n - 1}} q t (0.5 α, n - 1)$ , então $[l_{1} (X), l_{2} (X)]$ é um intervalo de confiança $1 - α$ para $μ$ .

Interpretação

Intervalos de confiança são interpretados incorretamente com frequência. Por exemplo, considere que, antes que a amostra seja observada temos $P (l_{1} (X) < μ < l_{2} (X)) = 95 %$ , e com base na amostra calculamos $l_{1} (x) = 0.5$ e $l_{2} (x) = 0.7$ . Dizemos que $[0.5, 0.7]$ tem confiança 95% para $μ$ . Também é comum que se interprete que, com probabilidade 95%, $μ$ está em $[0.5, 0.7]$ . Contudo, está interpretação está errada!

Note que a probabilidade de 95% no exemplo é calculada antes de a amostra ter sido coletada. Em outras palavras, podemos interpretar que, se gerarmos vários bancos de dados independentes da mesma população, então $μ$ pertencerá a cerca de 95% dos intervalos gerados por meio destes bancos de dados. Contudo, após um particular banco de dados ser coletado, ou $μ$ está dentro do intervalo calculado ou não está. A confiança de um particular intervalo gerado não é a probabilidade de que o parâmetro pertença a ele. Para corrobar a interpretação correta, o código abaixo gera $10000$ bancos de dados com $100$ observações normais de média $μ = 2$ e desvio padrão $σ = 4$ e calcula a proporção de bancos de dados em que $μ$ pertence ao intervalo com confiança de $95 %$ obtido.

mu = 2
sigma = 4
n = 100
num_experimentos = 10000
sucessos = 0
for(ii in 1:num_experimentos)
{
  dados = rnorm(n, mu, sigma)
  l1 = mean(dados) - sigma/sqrt(n) * qnorm(1-0.5*alpha)
  l2 = mean(dados) - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.5*alpha)
  sucessos = sucessos + (mu > l1 & mu < l2)
}
sucessos/num_experimentos

## [1] 0.952

Exercícios

Defina e interprete intervalo de confiança em suas próprias palavras.
Um experimentalista experiente realizou $9$ medições da largura de um objeto usando um paquímetro. A média destas observações foi de $1.2 m m$ . O desvio padrão do experimentalista com o paquímetro é de $0.2 m m$ . Usando estas informações, construa intervalo com confiança 90%, 95% e 99% para a largura do objeto.
No exemplo da normal com variância conhecida, obtemos que o comprimento do intervalo de confiança é $\frac{2 σ_{0} q n o r m (1 - 0.5 α)}{\sqrt{n}}$ . Isto ocorre pois $q n o r m (0.5 α) = 1 - q n o r m (1 - 0.5 α)$ . Interprete $σ_{0}$ , $α$ e $n$ e como estas quantidades inluenciam no tamanho do intervalo de confiança.
O caso da normal com variância populacional conhecida é um caso especial do caso da normal com variância populacional desconhecida. Em particular, o intervalo de confiança obtido para a variância populacional desconhecida é válido mesmo quando ela é conhecida. Apesar disso, é indesejável usar este intervalo neste caso. Por quê?
Obtenha a linha de raciocínio completa para obter o intervalo de confiança no caso da normal com variância desconhecida.

Last updated on Jan 1, 0001