Conceitos de testes de hipótese

Testes de hipótese

É comum que queiramos saber o quanto uma amostra corrobora uma hipótese científica. Neste caso, podemos aplicar um teste de hipótese, isto é, um procedimento que decidirá se a hipótese é ou não rejeitada diante da amostra obtida.

Por exemplo, considere que \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) são observações independentes realizadas com uma régua ao medir um determinado objeto. Suponha que \(X_{i} \sim N(\mu, \sigma_0^2)\), onde \(\sigma_0^2\) é conhecido e indica precisão das medidas feitas com a régua. Uma pessoa poderia estar interessada na hipótese de que o objeto tem \(15\) cm. Formalmente, chamamos esta hipótese de hipótese nula e a representamos por \(H_0: \mu = 15\). Gostaríamos de saber se é possível rejeitar \(H_0\) com base nos dados.

Tipos de erro

Existem \(4\) possíveis resultados que podem decorrer de um teste de hipótese. Note que o teste de hipótese pode rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula e, também, esta hipótese pode ser verdadeira ou falsa. Assim, existem \(4\) combinações de resultados possíveis:

  • (Acerto) A hipótese nula é verdadeira e não é rejeitada.
  • (Acerto) A hipótese nula é falsa e é rejeitada.
  • (Erro tipo I) A hipótese nula é verdadeira e é rejeitada.
  • (Erro tipo II) A hipótese nula é falsa e não é rejeitada.

Estas combinações podem ser representadas na seguinte tabela:

Note que existe um balanço entre os erros tipo I e II. Por exemplo, se quiséssemos que a probabilidade de cometer um erro tipo I fosse 0, então poderíamos nunca rejeitar H. Contudo, neste caso, a probabilidade de cometer um erro tipo II seria 1. Analogamente, se sempre rejeitarmos H, então as probabilidades de erro tipo I e II serão, respectivamente, 1 e 0. Na prática, rejeitamos \(H_0\) quando os dados oferecem evidência contrária a este hipótese. Assim, buscamos que as probabilidades de cometer um erro tipo I ou um erro tipo II sejam baixas.

Uma outra observação importante é que, em geral, não sabemos se cometemos um erro em um teste de hipótese. Para saber se \(H_0\) é verdadeiro ou não, seria necessária observar a população. Como apenas somos capazes de observar a amostra, não somos capazes de determinar se \(H_0\) é verdadeiro ou não. Assim, não sabemos se o resultado do teste de hipótese foi um acerto ou um erro.

Apesar da limitação acima, podemos controlar as probabilidades de erro tipo I e II de um teste. Isto é, podemos desenvolver testes que, antes de observar o banco de dados, tenham uma baixa probabilidade de cometer um erro.

Convecionou-se que a hipótese nula deve ser escolhida de tal forma que o erro tipo I seja mais grave que o erro tipo II. Por exemplo, é mais grave concluir que um rio não está poluído quando ele está poluído do que concluir que ele está poluído quando de fato não está. Assim, neste caso, tomaríamos a hipótese nula como aquela de que o rio está poluído, pois assim o erro tipo I seria o de rejeitar que o rio está poluído quando ele de fato está.

Como o erro tipo I é o mais grave, construímos testes de hipótese que diretamente controlam a probabilidade de erro tipo I. Formalmente, determinaremos testes de hipótese tais que o erro tipo I seja menor que um valor pré-determinado, \(\alpha\). É comum que \(\alpha\) seja chamado de nível de significância do teste.

Exemplo: normal com variância conhecida

Considere que \(X_{1},\ldots,X_{n}\) são observações independentes e tais que \(X_{i} \sim N(\mu,\sigma_0^2)\), onde \(\sigma_0^2\) é conhecido. Por exemplo, \(X_i\) pode ser o peso da \(i\)-ésima vaca alimentada com uma determinada ração. Deseja-se provar que o peso médio de vacas alimentadas com esta ração é maior do que \(\mu_0 kg\), ou seja, a hipótese nula é \(H_0: \mu_0 \leq 500\).

Para capturar o quanta a evidência os dados trazem contra \(H_0\), podemos calcular o quanto a média amostral supera o valor de \(\mu_0\), isto é, \(\bar{X}-\mu_0\). Gostaríamos de rejeitar a hipótese nula quando \(\bar{X}\) é muito maior que \(\mu_0\), isto é, \(\bar{X}-\mu_0 > c\), onde \(c\) é escolhido de forma a controlar o erro tipo I. A seguir, veremos como realizar este controle.

O erro tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Isto é, para obter o erro tipo I, queremos calcular \(P(\bar{X} - \mu_0 > c)\) sob \(H_0\). Especificamente, gostaríamos que \(P(\bar{X} - \mu_0 > c) \leq \alpha\) sob \(H_0\). Para realizar esta desigualdade, note que decorre das propriedades da distribuição normal que, sob o valor extremo o extremo da hipótese nula (\(\mu = \mu_0\)), temos que \(\bar{X}-\mu_0 \sim N\left(0,\frac{\sigma_0^2}{n}\right)\). Assim, utilizando a padronização da distribuição normal, obtemos que se \(\mu = 500\), \[ Z := \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_0^2}{n}}} \sim N(0, 1) \] Portanto, \[ \begin{align*} P(\bar{X}-\mu_0 > c) &= P\left(\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_0^2}{n}}} > \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ &= P\left(Z > \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ &= 1 - P\left(Z \leq \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ &= 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \end{align*} \] Para controlar o erro tipo \(I\), desejamos que sob \(H_0\), \(P(\bar{X}-\mu_0 > c) = \alpha\). Utilizamos as equações acima, obtemos \[ \begin{align*} \alpha &= 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ 1- \alpha &= \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ \text{qnorm}(1-\alpha) &= \text{qnorm}\left(\text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right)\right) \\ \text{qnorm}(1-\alpha) &= \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0} \\ \frac{\text{qnorm}(1-\alpha)\sigma_0}{\sqrt{n}} &= c \end{align*} \] Assim, para controlar o erro tipo I em \(\alpha\), rejeitamos a a hipótese nula \(H_0:\mu \leq \mu_0\) quando \[\bar{X}-\mu_0 > \frac{\text{qnorm}(1-\alpha)\sigma_0}{\sqrt{n}}.\]

Por exemplo, considere que observamos \(9\) vacas alimentadas com a ração de interesse. Sabemos que o desvio padrão nos pesos destas vacas é de \(50 kg\) e, portanto, o peso de cada vaca é \(X_i \sim N(\mu, 50)\). O peso média destas foi de \(530\). Se desejamos testar a hipótese \(H_0: \mu \leq 500\) a um nível de \(\alpha = 5\%\), podemos realizar os cálculos no R da seguinte forma:

mu0 = 500
n = 9
sigma0 = 50
media = 530
alpha = 0.05
qnorm(1-alpha)
## [1] 1.644854
c = qnorm(1-alpha) * sigma0 / sqrt(n)
c
## [1] 27.41423
media - mu0 > c
## [1] TRUE

Como a média amostral supera \(c\) a um nível de \(0.05\), rejeitamos a hipótese nula. Note que, se exercemos um maior controle sobre o erro tipo I, então não rejeitaremos a hipótese nula. Por exemplo, se tomássemos \(\alpha = 0.01\), então o teste de hipótese seria mais conservador e não rejeitaríamos a hipótese nula.

alpha = 0.01
qnorm(1-alpha)
## [1] 2.326348
c = qnorm(1-alpha) * sigma0 / sqrt(n)
c
## [1] 38.77246
media - mu0  > c
## [1] FALSE

p-valor

Na amostra estudada no exemplo anterior, verificamos que se fixássemos \(\alpha = 0.05\), então o teste rejeitaria a hipótese nula. Por outro lado, se fixássemos \(\alpha = 0.01\), o teste não rejeitaria a hipótese nula. Isto ocorre pois quanto menor o valor de \(\alpha\), mais o teste fica conservador em rejeitar \(H_0\). Decorre deste comportamento que, enquanto que para valores “grandes” de \(\alpha\), o teste rejeitará \(H_0\), para valores “pequenos” de \(\alpha\) o teste não rejeitará \(H_0\).

Um valor de interesse é o menor \(\alpha\) tal que o teste rejeita \(H_0\) para a amostra observada. Este \(\alpha^*\) é comumente chamado de p-valor. Este valor pode ser muito útil para compartilhar resultados. Note que, para a amostra observada, se um pesquisador fixar um \(\alpha > \alpha^*\), então ele rejeitará \(H_0\). Por outro lado, se ele fixar \(\alpha < \alpha^*\), então não rejeitará \(H_0\). Assim, somente comparando o p-valor com o \(\alpha\) fixado, é possível saber o resultado do teste. Portanto, mesmo pesquisadores fixando níveis de significância diferentes podem saber o resultado do teste de hipótese apenas observando o p-valor.

p-valor na normal com variância conhecida

No exemplo do teste de hipótese para a média da normal com variância conhecida, lembre que \(H_0: \mu \leq \mu_0\) é rejeitado para todos os valores de \(\alpha\) tais que:

\[\bar{X}-\mu_0 > \frac{\text{qnorm}(1-\alpha)\sigma_0}{\sqrt{n}}\] Portanto, o menor valor de \(\alpha\) tal que \(H_0\) é rejeitado, \(\alpha^*\) é tal que \[\bar{X}-\mu_0 = \frac{\text{qnorm}(1-\alpha^*)\sigma_0}{\sqrt{n}}\] Com algumas manipulações aritméticas podemos determinar o valor de \(\alpha^*\), isto é, o p-valor: \[ \begin{align*} \bar{X}-\mu_0 &= \frac{\text{qnorm}(1-\alpha^*)\sigma_0}{\sqrt{n}} \\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0} &= \text{qnorm}(1-\alpha^*) \\ \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) &= \text{pnorm}(\text{qnorm}(1-\alpha^*)) \\ \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) &= 1 - \alpha^* \\ 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) &= \alpha^* \end{align*} \] Portanto, o p-valor neste caso é o \(\alpha^*\) tal que \[ \alpha^* = 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) \]

Exercícios

  1. Descreva em suas próprias palavras: teste de hipótese, erro tipo I, erro tipo II, nível de significância e p-valor.

  2. Um cientista mede um objeto \(9\) vezes com um paquímetro e observa os valores em mm de: 1.2, 1.4, 1.7, 1.3, 1.5, 1.1, 1.8, 1.4, 1.1. Se as medições com o paquímetro tem desvio padrão de 0.2 mm, o pesquisador consegue rejeitar a hipótese de que o comprimento do objeto é menor do que \(1.3 mm\)? Qual o p-valor para esta hipótese na amostra observada?

  3. Considere o caso da normal com variância conhecida. Ou seja, cada observação é tal que \(X_{i} \sim N(\mu,\sigma_0^2)\). Considere que desejamos testar \(H_0: \mu \geq \mu_0\). Neste caso, faria sentido calcular como evidência contra \(H_0\) o quanto \(\bar{X}\) é menor que \(\mu_0\)? Se sim, rejeitaríamos \(H_0\) quando \(\bar{X}-\mu_0 < c\). Utilizando passos análogos ao da seção da normal com variância conhecida, o valor de \(c\) tal que a probabilidade de erro tipo I é controlada por \(\alpha\). Determine o p-valor deste teste.

  4. Considere novamente o caso da normal com variância conhecida, ou seja, cada observação é tal que \(X_{i} \sim N(\mu,\sigma_0^2)\). A medida \(|\bar{X}-\mu_0|\) captura evidência contra \(H_0: \mu = \mu_0\)? Se desejamos rejeitar \(H_0\) quando \(|\bar{X}-\mu_0| > c\), determine o valor de \(c\) que controla o erro tipo I em \(\alpha\). Determine o p-valor deste teste.

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